Jarosław Klimentowski Jarosław Klimentowski
1888
BLOG

Podstawy Szczególnej Teorii Względności (1)

Jarosław Klimentowski Jarosław Klimentowski Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 44

Ponieważ mamy wysyp notek o Szczególnej Teorii Względności, a mam wrażenie, że wielu dyskutantów zwyczajnie nie wie nawet z czym polemizuje, chcę na prostym przykładzie pokazać skąd w tej teorii biorą się dylatacje i inne efekty.

STW jest teorią, która tak naprawde opiera się na jednej rzeczy, mianowicie transformacji Lorentza. Przypomnijmy, iż transformacja jest pewną funkcją za pomocą której wyrażamy współrzędne (obiektów, zdarzeń) umieszczonych w jednym układzie odniesienia, przy pomocy współrzędnych z innego układu odniesienia. Wszelkie interesujące efekty obserwujemy więc przy przejściu pomiędzy układami, a więc w praktyce obserwując to samo zjawisko z kilku różnych układów. Oczywiście najpopularniejszym chyba przykładem jest wyobrażenie sobie mknącej z ogromną prędkością rakiety, a następnie obserwowanie zachowania się zegara umieszczonego w tej rakiecie raz z punktu widzenia rakiety, a innym razem z punktu widzenia obserwatora, który pozostał na Ziemi.

Nie mam zamiaru pokazywać tutaj pełnego wyprowadzenia transformacji Lorentza, jest to pojęciowo nieco zagmatwane. Poniższy przykład ma nam uzmysłowić skąd filozoficznie bierze się dylatacja czasu, czyli różne wskazania identycznych zegarów w róznych układach.

Zanim jednak zaczniemy musimy przyjąć do wiadomości fakt, który legł u podstaw STW. Jest nim postulat stałej prędkości światła. Postulat ten mówi, że niezależnie od ruchu naszego układu pomiarowego, a także źródła światła, zawsze zmierzymy tą samą konkretną wartość c (oczywiście w próżni). Oczywiście historycznie fakt ten odkryto nieco inaczej, niż mierząc dokładnie prędkość światła. Transformacja Lorentza została wymyślona jako transformacja zachowująca niezmienniczo równania Maxwella, czyli równania elektromagnetyzmu. Oczywiście światło jest falą elektromagnetyczną, a więc wynika z tych równań. Przyjęcie więc tego postulatu oznacza nie tylko, iż światło ma tę samą prędkość czy to na Ziemi czy w rakiecie, ale także inne zjawiska fizyczne takie jak przepływ prądu itp., również przebiegają w obu układach identycznie.

Jeszcze raz powtórzmy sens tego postulatu, bo często jest on błędnie rozumiany. Prędkość światła nie zależy od prędkości źródła. Jeśli mierzymy prędkość świałta przychodzącego do nas z różnych gwiazd, to zawsze wyjdzie nam c, niezależnie od prędkości tych gwiazd. Jeśli rozpędzimy się w rakiecie do dużej prędkości i powtórzymy pomiary, znów otrzymamy to samo c. Jeśli zaświecimy latarką w rakiecie to zmierzymy prędkość c, a jeśli zaświecimy w kierunku Ziemi i tam też ktoś zmierzy prędkość promienia światła, to także otrzyma c.

Choć wydaje nam się to nientuicyjne, to ten postulat ma silne podstawy doświadczalne. Gdybyśmy wzięli układ podwójny gwiazd w którym dwie gwiazdy obiegają wspólny środek masy, a prędkość światła dodawała by się do ich prędkość, otrzymalibyśmy bardzo dziwny obraz. Przyjmijmy dla uproszczenia, że c=300 000 km/s. Mamy dwie idenyczne gwiazdy obiegające wspólny środek masy z prędkością 10 km/s. Wartości wzięte oczywiście od czapy, ale chodzi o prosty rachunek. Weźmy sytuację, gdy gwiazda nr 1 zbliża się do nas z 10 km/s a gwiazda nr 2 oddala się. Promień wysłany przez pierwszą gwiazdę leci do nas z 300 010 km/s, a drugiej z 299 990 km/s. Te 20 km/s różnicy w ciągu roku rośnie do 630 milionów kilometrów. Jeśli gwiazdy oddalone są od nas o 100 lat świetlnych, otrzymamy ponad 60 miliardów kilometrów różnicy między sygnałami wysłanymi w tym samym momencie. A to już kilkadziesiąt godzin. Nie można przegapić takiego efektu. Jedna gwiazda wydawała by się niesymetrycznie przesunięta o te kilkadziesiąt godzin ruchu orbitalnego w przestrzeni względem drugiej. Ale co dalej - gwiazda druga oddalała się od nas z prędkością 10 km/s, ale przecież w ruchu orbitalnym zakręca i oddala się coraz wolniej. Wysyła więc do nas światło z większą prędkością względną (299 991, 299 992 itd. aż do 300 010 km/s). Światło to goni i w pewnym momencie dogania, a następnie nawet wyprzedza światło wysłane wcześniej. Jeśli chwilę nad tym pomyślimy, to dojdziemy do wniosku, że takie gonienie i wyprzedzanie się różnych promieni z obu gwiazd dzieje się ciągle, a więc na Ziemi odbierzemy totalny miks wszystkich tych sygnałów. Niemożliwa byłaby ocena chwilowej prędkości obu gwiazd, mielibyśmy sygnały wysłane przez gwiazdy w różnych momentach na przestrzeni wielu orbit i zebrane w jeden wielki chaos. Niczego takiego nie obserwujemy.

Oczywiście można całą koncepcję zmiennej prędkości światła obalić jeszcze inaczej. Proszę pamiętać, że elektromagnetyzm przejawia się chociażby w fizyce atomów, cząsteczek itd. Gdyby w rozpędzonej rakiecie prędkość światła była inna, niż na Ziemi, inaczej musiałyby wyglądać równania elektromagnetyzmu, a więc zmieniłyby się cechy atomów i cząstek. Całkiem możliwe, że atomy w ogóle nie mogłyby istnieć w takiej formie jak na Ziemi. Znów nie obserwujemy takich efektów w nawet najbardziej rozpędzonych obiektach kosmicznych. Już to dowodzi, że zajmować musimy się transformacją nie zmieniającą postaci równań Maxwella, a więc transformacją Lorentza.

Kończąc tę dygresję skupmy się na samej STW, a więc przyjmijmy postulat stałej prędkości światła w każdym układzie i zobaczmy co z tego wynika. Nasz układ eksperymentalny to źródło światła i ekran. Możemy też traktować go jako dwa lustra, pomiędzy którymi odbija się promień światła. Czas przelotu promienia wyznacza nam jakby wzorcową sekundę, a więc jest to prosty model zegara.

Układ pomiarowy umierszamy w rakiecie w taki sposób, iż promień światła wysyłany jest w poprzek jej ruchu. Czyli od burty do burty. Rakieta porusza się z dużą prędkością v. Spróbujmy to rozrysować:

 

 

 

Układ nieprimowany U to układ związany z rakietą. Mamy tam źrodło i ekran (czy jak kto woli dwa lustra), czas przelotu sygnału to t (modelowa sekunda), a więc odległość to ct. Siedząc w rakiecie oczywiście nie widzimy nic specjalnie dziwnego, sygnał odbija się w te i z powrotem i za każdym razem przelot zajmuje mu t czasu.

Teraz spróbujmy opisać to zjawisko z punktu widzenia obserwatora pozostawionego na Ziemi (układ U'). Oczywiście widzi on ruch rakiety. Sygnał wysłany ze źródła musi celować w uciekający z prędkością v ekran, a więc lecieć pod pewnym kątem. Oczywiście sygnał odbija się i wraca do źródła i tak zygzakiem leci w dal razem z rakietą. Rakieta podczas jednego takiego przelotu pokonuje odległość vt' (przyjmujemy konwencję gdzie wielkości primowane uznaczają pomiary w układzie primowanym). Odległość, którą pokonuje sygnał to ct'. Tutaj właśnie kryje się przyjęte przez nas założenie - przyjmujemy iż c jest stałe i to odróżnia nas od klasycznego obrazka, gdzie prędkość światła byłaby inna (sumowałaby się z prędkością rakiety). Na oko widać, że ct'>ct, a więc t'>t.  Droga do pokonania jest dłuższa, jeśli więc nie zmienia się c, to inna musi być wartość czasu.

Aby wyliczyć t' w funkcji t, a więc znaleźć wzór na dylatację czasu, stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta. 

(ct)^2+(vt')^2=(ct')^2

(ct)^2=(ct')^2-(vt')^2

(ct)^2=t'^2*(c^2-v^2)

t^2=t'^2(1-v^2/c^2)

t=t'*sqrt(1-v^2/c^2)

t'=t/sqrt(1-v^2/c^2)

Ot i słynny wzór na dylatację czasu. 

Oczywiście pójść musimy dalej. Skoro zmienia się czas, to zmieniać się muszą odległości. Rakieta w układzie Ziemi w czasie ziemskim t' pokonuje dystans s'=vt'. Dla obserwatora w rakiecie w tym czasie upływa jednak t sekund, a więc jemu wydaje się iż pokonuje dystans s=vt=v*t'*sqrt(1-v^2/c^2)=s'*sqrt(1-v^2/c^2). Tak więc s<s' i dla obserwatora z rakiety świat i wszystko to co mija po drodza wydaje się skrócone. Oczywiście sytuację można odwrócić i powiedzieć, że dla obserwatora naziemnego to rakieta wydaje się krótsza. 

To oczywiście nie jest ogólne wyprowadzenie transformacji Lorentza, to raczej rozważania nad postulatem stałej prędkości światła i konsekwencjami, które on niesie.

Zastanówmy się teraz nad jednoczesnością zdarzeń. W tym celu zmienimy nieco nasz układ eksperymentalny. Na środku rakiety umieszczamy źródło światła, które impulosowo wysyła sygnał dookólny, nastomiast na dziobie i na rufie w równych odległościach instalujemy ekrany. I znów zjawisko rozpatrujemy w dwóch układach. W układzie rakiety U i w układzie naziemnym U'.

 

Gdy siedzimy w rakiecie nie ma problemu. Odległości są równe, sygnały rozchodzą się z prędkością c we wszystkich kierunkach, a więc i w tym samym momencie docierają do obu ekranów. Ciekawie robi się w układzie U', gdy sytuację obserwujemy z Ziemi. Rakieta porusza się z dużą prędkością, ale prędkość światła nie dodaje się do niej, to nadal c. Gdy więc ekran ulokowany na rufie przesunie się nieco do przodu (pozycja zaznaczona na szaro) spotka się z promieniem skierowanym ku rufie. Jednak w tym samym momencie ekran dziobowy przesunie się o ten sam dystans do przodu, uciekając promieniowi skierowanemu ku niemu. Promień będzie miał jeszcze spory dystans do pokonania (symbolizują go dwieniebieskie linie), pamiętając, że ekran będzie ciągle uciekał. Mimo iż w układzie rakiety dotarcie sygnałów do obu ekranów było równoczesne, to tak nie jest w układzie obserwatora naziemnego. Najpierw zaobserwuje on dorarcie sygnału do ekranu rufowego, a dopiero potem do dziobowego. Oczywiście to obrazek poglądowy, przy pomocy transformacji Lorentza znajdziemy konkretne wartości tej róznicy. Pamiętajmy też, że na tym rysunku nie uwzględniono relatywistycznego skrócenia rakiety.

 W tym momencie warto też krótko przedyskutować argument, który często powtarzają osoby nie do końca rozumiejące na czym polegają efekty relatywistyczne. Otóż stawiają oni tezę, że są to efekty czysto obserwacyjne, a więc biorące się z faktu, iż informacja o zdarzeniach dociera do nas z ograniczoną prędkością. Jak widać na powyższych przykładach to nieprawda. Nigdzie tam nie zastanawiamy się nad tym w jaki sposób przesłać do nas informację o tym, iż sygnał trafił na ten czy inny ekran. Zastanawiamy się nad prawdą obiektywną, a nie obserwacyjną. Oczywiście projektując taki eksperyment jak np. na drugim rysunku musielibyśmy na obu ekranach zainstalować jakiś mechanzim, który po otrzymaniu sygnału np. inicjował wysłanie sygnału informacyjnego na Ziemię. Teraz musielibyśmy liczyć się z faktem, że dotarcie tego sygnału na Ziemię będzie trwało jakiś czas i to tym dłuższy im dalej od Ziemi sygnał wysłano. Musimy to wiedzieć i umieć sobie odtworzyć z sytuacji obserwacyjnej sytuację realną. Jednak nasze rozważania pozbawione są tego problemu. Nigdzie nie zakładamy skończonej prędkości rozchodzenia się informacji, ba nawet nie zastanawiamy się jak technicznie taką informację przekazać. Wyciągamy tylko wnioski z postulatu stałej prędkości świała. Tak więc fakt iż w układzie ziemskim najpierw zaistnieje zdarzenie dotarcia sygnału do ekranu rufowego, a dopiero później zdarzenie dotarcia do sygnału dziobowego jest faktem obiektywnym, a nie subiektywną obserwacją. Nie ma znaczenia czy obserwator związany z Ziemią znajduje się za ogonem rakiety, czy przed jej dziobem.

Wyobraźmy sobie sytuację, że rakieta zmierza ku Ziemi (obserwator jest daleko po prawej stronie). Czy w jakikolwiek sposób zmienia to stan faktyczny? Nie, nadal sygnał najpierw dotrze na rufę, a dopiero potem na dziób. To gdzie znajduje się obserwator nie ma żadnego znaczenia. Ważna jest jedynie jego prędkość względem rakiety, bo to definiuje układ. Oczywiście jeśli zapytamy inaczej - kiedy informację o doraciu sygnału do ekranu odbierze obserwator naziemny, to wyniki mogą być różne. Jeśli np. sygnał docierający do rufy zainicjuje wysłanie w kierunku obserwatora naziemnego sygnału potwierdzającego, następnie sygnał docierający do ekranu dzobowego również zainicjuje wysłanie takiego sygnału potwierdzającego do obserwatora naziemnego, a obserwator znajduje się przed dziobem rakiery (czyli po prawej stronie), to najpierw otrzyma on potwierdzenie od dzioba, a potem od rufy. To jest właśnie efekt obserwacyjny. Ale nie zmienia on obiektywnego faktu, iż najpierw w jego układzie zaistniało zdarzenie dotarcia sygnału do rufy, a potem do dzioba. To jest fakt obiektywny i tylko on nas interesuje!

Być może trochę sprawę zagmatwałem, ale proszę to sobie na spokojnie przemyśleć. Wróćmy jeszcze do sytuacji pierwszej gdy obserwator siedzi w rakiecie. Jak pamiętamy sygnał dociera do obu ekranów w tym samym momencie. Załóżmy teraz, że obserwator siedzi na dziobie (pilotuje) i czeka na informacje o dotarciu sygnałów inicjowane przez ekran. Mimo, iż sygnały docierają w tym samym momencie do obu ekranów, to obserwator najpierw otrzyma informacje od ekraniu dziobowego (bo siedzi koło niego), a dopiero po chwili dotrze do niego informacja z ekranu rufowego (bo sygnał potwierdzający potrzebuje chwili, aby do obserwatora dolecieć). Czy to znaczy, że zdarzenie dotarcia sygnału do ekranu dziobowego zaistniało najpierw? Absolutnie nie. W układzie obserwatora oba te zdarzenia były jednoczesne, a tylko informacja z rufy dotarła z opóźnieniem. Obserwator znając odległość do rufy oraz prędkość propagacji sygnału może sobie obliczyć czas i stwierdzić fakt obiektywny, iż sygnał do obu ekranów dotarł równocześnie. My tylko tymi faktami obiektywnymi się tutaj zajmujemy. Dla obserwatora naziemnego realnie sygnał dociera najpierw na rufę, a potem na dziób, niezależnie od tego w jaki sposób i po jakim czasie obserwator się o tym dowie. To są sprawy techniczne, które nas nie interesują.

Podsumowując omówiłem pewne podstawowe zagadnienia odnośnie Szczególnej Teorii Względności. Postulat stałej prędkości światła i płynące z niego proste konsekwencje. Mam nadzieję, że ta notka będzie fundamentem w oparciu o który możemy dalej dyskutować wiedząc już o czym mówimy.

Ikarus, MAN, Jelcz i Solaris

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie