Fizyka działania akcelerometru cz. I

Akcelerometr jest urządzeniem mierzącym przyspieszenia. Urządzenia tego typu stosujemy np. w samolotach czy rakietach kosmicznych. Jak wiemy przyspieszenie jest pochodną prędkości, a więc całkując zmierzone przyspieszenia możemy określić naszą prędkość, co byłoby trudne do zrobienia np. w kosmicznej próżni, gdzie nie ma medium jak powietrze, pozwalającego obliczyć prędkość bezpośrednio. Oczywiście całkując dalej prędkość, możemy wyliczyć również nasze położenie. W ten sposób skonstruowane są bezwładnościowe systemy nawigacyjne. W erze, gdy nie było jeszcze nawigacji satelitarnej, takie systemy tylko i wyłącznie na podstawie pomiaru i całkowania chwilowych przyspieszeń, potrafiły określić pozycję samolotu z całkiem niezłą dokładnością, nie korzystając z żadnych zewnętrznych punktów odniesienia. Oczywiście całkowanie zawsze daje nam stałą, a więc aby określić położenie samolotu trzeba znać warunki początkowe - jego początkowe położenie i prędkość. Dalej mierząc już tylko przyspieszenia, te dwie stałe całkowania pozwolą nam określić położenie w dowolnym momencie czasu. Sprytne prawda?

Najprostszy model akcelerometru to kulka na sprężynie.

Idealna fizyczna sprężyna jest ciałem mającym ciekawą własność. Im bardziej ją rozciągamy lub ściskamy tym większą siłą chce ona przeciwdziałać temu ruchowi i powrócić do swojej naturalnej długości. Będziemy tutaj zakładać, że mamy do czynienia z liniową reakcją sprężyny tj. dwa razy większe jej wydłużenie powoduje, że siła reakcji jest dwa razy większa. Nie jest to wymóg konieczny, ale w takim przypadku łatwiej się liczy, a skala, którą narysujemy na tej podstawce będzie liniowa.

Rozpiszmy więc siły, które działają na naszą kulkę. Interesują nas tylko siły działające w osi sprężyny, możemy założyć, że kulka porusza się w jakichś bezoporowych szynach i inne kierunki nas nie interesują.

Siła sprężystości definiowana jest jako

x - wychylenie z punktu równowagi

k - współczynnik sprężystości sprężyny

Siła jest ze znakiem ujemnym, gdyż przeciwdziała wychyleniu, tj. odchylając kulkę w kierunku dodatniej osi (w prawo), siła działa w kierunku ujemnym tj. w lewo. Jak zachowuje się taki układ, gdy nie działają na niego żadne inne siły?

Napiszmy teraz Drugą Zasadę Dynamiki Newtona dla takiego układu:

Wiedząc, że przyspieszenie jest drugą pochodną położenia otrzymamy:

Przepiszmy to jeszcze wprowadzając:

do postaci:

Otrzymaliśmy liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu na x. Jak rozwiązać takie równanie? Nie wchodząc za bardzo w teorię równań różniczkowych warto odnotować, że bardzo wiele z nich rozwiązuje się przez swoiste zgadnięcie, tj. domyślenie się jaka funkcja podstawiona pod x pozwoli spełnić takie równanie.

W tym przypadku musimy tę funkcję zróżniczkować dwa razy aby otrzymać ją razy coś. Teraz przerwa 5 minut na wymyślenie takiej funkcji i poniżej odpowiedź:

Narzuca się funkcja trygonometryczna. Ze szkoły pamiętamy, że zróżniczkowanie cosinusa daje minus sinus, a powtórne zróżniczkowanie sinusa, daje znów cosinus. Otrzymamy więc ruch cykliczny i tak też podpowiada nam logika. Napiszmy przykładowe rozwiązanie:

Tak naprawdę nie ma znaczenia, czy weźmiemy sinus czy cosinus, wprowadzone stałe zapewniają tam wystarczającą ogólność. Oczywiście łatwo sprawdzić podstawiając, że funkcja ta spełnia równanie. Równanie to opisuje cykliczny ruch harmoniczny wokół neutralnego punktu. Łatwo też zinterpretować stałe - A to amplituda wychylenia fi - początkowa (w chwili t=0) pozycja kulki, a w - okres wahań. Dla porządku wypiszmy rozwiązania tego równania dla trzech wielkości - położenia, prędkości i przyspieszenia:

Co stanie się z wahadłem, gdy nasz obiekt będzie poruszał się ruchem przyspieszonym? Pojawi się dodatkowa siła bezwładności działająca na kulkę. Załóżmy, że cały nasz obiekt porusza się w lewo, a więc na kulkę działa w prawo pozorna siła bezwładności w prawo (ze znakiem dodatnim).

Równanie trzeba nieco zmodyfikować:

Jak rozwiązać takie równanie? Równanie to jest także równaniem liniowym drugiego rzędu, ale w odróżnieniu od poprzedniego jest to równanie niejednorodne. Zamiast jednak zaprzęgać cały aparat matematyczny, można posłużyć się pewnym fortelem, a mianowicie wprowadzić zmienną pomocniczą taką, że -kx+F=-ky, wtedy: x=y+F/k. Trzeba jeszcze wyeliminować x po lewej stronie korzystając z własności:

Obliczenie pochodnej x po y jest oczywiście banalne, w efekcie otrzymamy równanie:

Jego rozwiązania są oczywiście identyczne jak na x. Nie zmieni się ani okres, ani amplituda. Jedyna różnica jest taka, że obliczone położenie w każdym momencie (po powrocie do zmiennej x) będzie przesunięte w prawo o składnik F/k. To przesunięcie wynika oczywiście z działającej siły bezwładności. Nasz akcelerometr zaczyna więc działać i odchylać się zależnie od siły bezwładności F. Przypomnijmy, że siła bezwładności F=ma, czyli odchylenie to a*(m/k). Jeśli znamy stosunek masy kulki do współczynnika sprężystości, możemy zacząć odkładać nasze a na skali.

Ale co z ruchem cyklicznym? Bez wątpienia utrudnia nam on odczytanie wskazań wychylenia i najlepiej byłoby się go pozbyć. W jaki sposób? Wprowadzając jakieś tłumienie. Najprościej zrobić to umieszczając całą tę kulkę i sprężyne w jakiejś gęstej cieczy.

Wróćmy więc do naszych rozważań z wahadłem bez siły bezwładności, a za to z siłą oporu. W najprostszym przypadku można założyć, że siła oporu zależy liniowo od prędkości w cieczy (a nie od wychylenia, jak siła sprężystości), a więc oznaczmy ją jako:

Duże K będzie oznaczało współczynnik oporu cieczy. Całe równanie ruchu przyjmie postać:

Wprowadźmy jeszcze dla uproszczenia inne stałe:

Znów mamy równanie drugiego stopnia, ale tym razem tak łatwo nam nie pójdzie. Potrzebujemy lepszej funkcji próbnej, która odtwarza samą siebie już po pojedynczym różniczkowaniu. Taka funkcja to... funkcja eksponencjalna.

Spróbujmy więc próbnego rozwiązania postaci:

Po podstawieniu łatwo sprawdzić, że zarówno A jak i czynnik eksponencjalny skrócą się, a dostaniemy równanie:

Otrzymaliśmy tak zwane równanie charakterystyczne. Jest to zwyczajne, szkolne równanie kwadratowe, ale musimy w ogólności musimy je rozwiązywać w dziedzinie liczb zespolonych.

Policzmy deltę tego równania:

Nie wchodząc bardzo mocno w szczegóły - jeśli delta jest nieujemna (co odpowiada dużej lepkości cieczy), będziemy mieć rzeczywiste rozwiązania na lambdę. Gdy podstawimy je do naszego próbnego iksa, zakładając, że lambda jest ujemna, otrzymamy ruch gasnący eksponencjalnie (rozwiązania z dodatnią lambdą będą wyzerowane przez stałą). Innymi słowy wahadło nie zdąży się nawet wahnąć, po prostu wytłumi się do swojego położenia równowagi. Przy delcie ujemnej dostaniemy zespolone rozwiązania, a te jak pamiętamy ze wzoru Eulera, po podstawieniu do eksponentu dadzą rozwiązania oscylacyjne. Okaże się więc, że dostaniemy naszego pierwotnego cosinusa, ale przemnożonego przez eksponente z ujemnym wykładnikiem, czyli oscylacyjny ruch gasnący. Rozwiązanie będzie tej postaci:

Oczywiście dołożenie siły bezwładności znów nic tutaj nie zmieni, poza przesunięciem punktu równowagi. Projektując więc akcelerometr musimy tak dobrać sprężystość sprężyny oraz lepkość cieczy, aby z jednej strony do punktu równowagi dojść w miarę szybko, ale z drugiej strony, aby też ruch oscylacyjny w miarę szybko wytłumić.

Wiemy już więc, że żaden akcelerometr, jak nie byłby zaprojektowany, nie wskaże nam przyspieszenia skokowo. Jeśli puścimy przedmiot do spadku swobodnego, jego przyspieszenie ruszy skokowo, ale akcelerometr będzie potrzebował pewnego czasu aby kulka doszła do założonego punktu równowagi i ew. na wytłumenie jej oscylacji wokół tego punktu.

W drugiej części pomówimy o tym co właściwie taki akcelerometr mierzy.