Fizyka działania akcelerometru cz. III

Tym razem ostatecznie spróbuję rozwikłać kwestię co pokazuje akcelerometr. W komentarzach pod poprzednimi notkami pojawiły się wątpliwości co do siły bezwładności. Pokazałem, że problem akcelerometru można rozwiązać dwojako, albo z siłą bezwładności albo bez. Ale może wymyślmy prostszy przykład.

Wyobraźmy sobie astronautę zamkniętego w dużej i pustej rakiecie zawieszonej gdzieś w stanie nieważkości. Astronauta wisi sobie w środku z dala od sufitu i podłogi. Uruchamiamy teraz silnik rakiety, który napędza ją powiedzmy z przyspieszeniem 1g i obserwujmy co się stanie. Rakieta rusza, podłoga idzie do góry, a astronauta dalej wisi i nic się z nim nie dzieje. Nie ma więc żadnej siły. Astronauta jest dalej w stanie nieważkości i nic z ruchu rakiety sobie nie robi. Oczywiście do momentu, gdy spotka się z jej podłogą, a będzie to bolesny upadek. Ale nawet wtedy jedyną siłą działającą na astronautę jest siła nacisku na niego podłogi.

Gdy astronauta zatrzyma się już na podłodze oczywiście poczuje ciążenie. Poczuje krew odpływającą z mózgu, a więc zupełnie realny efekt. Ale nadal nie ma tutaj żadnej siły bezwładności, po prostu krwi nic nie napędza i chce ona pozostać w spoczynku, zbliża się więc w naturalny sposób do podłogi rakiety i ucieka z głowy.

Ta sama sytuacja z punktu widzenia układu związanego z rakietą. Gdy silniki ruszają, układ ten nadal jest związany z rakietą, a więc w nim rakieta "spoczywa". Za to astronauta rusza w dół. Można więc przyjąć, że działa na niego siła bezwładności, nadająca mu przyspieszenie -1g (w dół rakiety). W momencie uderzenia w podłogę siła ta zostaje zrównoważona z siłą nacisku podłogi i astronauta w układzie rakiety "spoczywa".

Policzmy więc czas jaki potrzebuje astronauta, aby spaść na podłogę rakiety z wysokości h.

W układzie rakiety mamy po prostu siłę bezwładności F=-mg. Równanie ruchu to:

Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy

a po uwzględnieniu warunków początkowych t=0 -> x(0)=h, v(0)=0

Podstawiając szukane x=0, znajdujemy czas:

Policzmy to samo w układzie inercjalnym. Oznaczmy jako x1 - odległość podłogi rakiety od początku układu współrzędnych i analogicznie x2 - odległość astronauty, przy czym w chwili t=0 -> x1=0, x2=h

Równanie ruchu dla podłogi rakiety to:

a dla astronauty

Zdefiniujmy x jako odległość astronauty od podłogi tj. x2-x1, odejmijmy pierwsze równanie od drugiego:

Dalej już chyba nie muszę liczyć prawda?

Wszystko więc jedno czy przyjmiemy, że akcelerometr mierzy jakąś pozorną siłę bezwładności i dzięki naniesieniu osi w przeciwnym kierunku przelicza to na przyspieszenie, czy robi to bardziej wprost, zasada jego działania jest oczywista.

Niestety akcelerometr ma jeden problem z którym nie może sobie poradzić. Nie potrafi odróżnić siły bezwładności od siły grawitacji. Przypomnijmy, że masa jest pewną cechą każdego ciała, która mówi o jego bezwładności tj. podatności na działanie siły:

Im większa masa tym większej siły trzeba użyć aby ciało rozpędzić, ale także aby je zatrzymać. Jednak dziwnym zbiegiem okoliczności masa pojawia się w jeszcze innym równaniu, a mianowicie w prawie powszechnego ciążenia:

Ta sama masa (z dokładnością co do stałej G) odpowiada za siłę przyciągania grawitacyjnego dwóch ciał. Jeśli więc rozpatrujemy spadek swobodny jakiegoś ciała w polu grawitacyjnym innego (pomijając inne siły), możemy te dwa wzory porównać i wyliczyć przyspieszenie a zauważając, że masa ciała spadającego się skróci.

Innymi słowy wszystkie ciała w polu grawitacyjnym spadają z tym samym przyspieszeniem, gdyż wielkość ich bezwładności jest równoważona przez wartość siły grawitacji. Im większa bezwładność tym mocniej są przyciągane. Skoro więc akcelerometr mierzy siłę bezwładności, to mierzy także siłę grawitacji i co gorsza nie potrafi odróżnić jednej od drugiej.

Okazuje się, że nie tylko akcelerometr, ale żadne inne urządzenie zamknięte w izolowanym od świata zewnętrznego pudle, nie potrafi odróżnić siły grawitacji od siły bezwładności. Oczywiście zakładamy tutaj, że mamy do czynienia z jednorodnym polem grawitacyjnym tj. takim, które jest niezmienne w przestrzeni. Realne pole np. od punktu na dostatecznie duże ciało będzie działało np. siłami pływowymi, ale o tym można poczytać tutaj: http://jarkli.salon24.pl/693005,o-przyplywach-i-odplywach

Wyobraźmy więc sobie, że nasza rakieta z wyłączonym silnikiem spada swobodnie w polu grawitacyjnym. Licząc na siłach bezwładności wyjdzie nam, że w rakiecie panuje stan nieważkości, gdyż siła bezwładnościm działająca na kulkę akcelerometru równoważona jest przez siłę grawitacji. Patrząc z zewnątrz jest jeszcze łatwiej - wszystkie elementy rakiety łącznie z astronautą i nieszczęsną kulką, spadają z tym samym przyspieszeniem, a więc nic nie napręża sprężyny.

Innymi słowy akcelerometr myli się. Mimo, iż rakieta przyspiesza, to jemu wydaje się, że rakieta spoczywa, bądź porusza się jednostajnie. Dokładnie to samo stanie się, gdy rakieta bądź to spocznie na powierzchni planety, bądź uruchomi silniki z taką mocą, aby zrównoważyć siłę grawitacji. Wtedy mimo, iż rakieta np. spoczywa, to akcelerometr odnotuje przyspieszenie dokładnie takie, jakie odnotowałby w tej rakiecie przyspieszającej z dala od jakichkolwiek pól grawitacyjnych. Akcelerometr fałszuje więc wskazania dokładnie o wartość przyspieszenia grawitacyjnego, które odczuwa. Zresztą nie tylko akcelerometr. Także nasz mózg oraz każde inne urządzenie pozbawione widoku "na zewnątrz" rakiety, nie będzie w stanie ocenić, czy jest ona w stanie nieważkości w dalekim kosmosie, czy swobodnie spada na planetę, ciągle przyspieszając.

Tutaj miejsce na małą dygresję. Oczywiście można pokombinować i spróbować stworzyć takie urządzenie. Wyobraźmy sobie, że nasza rakieta jest bardzo szeroka. Przy jednej ścianie ustawiamy karabin, który strzela równolegle do podłogi w kierunku drugiej ściany. Jeśli rakieta spoczywa, to kule karabinowe będą trafiać dokładnie na takiej samej wysokości. Ale w rakiecie przyspieszającej do góry bez wątpienia zaobserwujemy odchylenie kul w dół (na takiej samej zasadzie jak obserwujemy upadek astronauty na podłogę). Mamy więc alternatywną wersję akcelerometru. Niestety jest on tak samo bezbronny wobec grawitacji. Przecież gry rakieta znajduje się w polu grawitacyjnym, to te kule będą "spadać" dokładnie w tym samym tempie co karabin i cała rakieta. Znów nie odróżnimy doskonałej nieważkości od spadku swobodnego.

Tutaj na myśl przychodzi rozwiązanie. A co gdyby strzelać "kulami", które nie posiadają masy, a więc nie oddziaływują grawitacyjnie? To powinno zadziałać. Choć właściwie nie ma pewności, bo przecież o ile siła grawitacji przy m->0 będzie dążyła do zera, o tyle przyspieszenie grawitacyjne przy m->0 pozostaje stałe i nie wiadomo co by się miało stać w tej granicy. Zapomnijmy o tym problemie i postąpmy jak sam Einstein. Wyobraźmy sobie to działo fotonowe, czyli laser, który oświetla drugą ścianę rakiety. Rakieta spada swobodnie w polu grawitacyjnym, jeśli fotony, jako cząstki bezmasowe nie oddziaływują grawitacyjnie, to promien powinien wyraźnie odchylić się do góry. Co zrobił Einstein? Zapostulował, że tak nie będzie. Że nie jest możliwe wykrycie spadku swobodnego w ten sposób. Co więc zaproponował? Otóż jego pomysł był taki, że owszem promień odchylałby się do góry, ale grawitacja na tyle zakrzywia czasoprzestrzeń, że promień ten będzie "wyprostowany". I analogicznie w rakiecie przyspieszającej w próżni z 1g promień realnie musi odchylić się nieco w dół, a więc w rakiecie, która spoczywa na Ziemi i odczuwa ziemskie, grawitacyjne 1g, grawitacja musi go zakrzywić nieco w dół z tym samym wynikiem. Założenie to legło u podstaw Ogólnej Teorii Względności i biorąc pod uwagę, że teoria ta nieźle się sprawdza, można rozsądnie przyjąć, że jest prawdziwe.

W tym miejscu spróbujmy oszacować z ciekawości jak duże jest to ugięcie przestrzeni. Zakładając, że światło ma jedną sekundę, przebędzie w tym czasie dystans ok. 300 tyś. kilometrów (7 i pół obwodu Ziemi) i odchyli się o odległość spadku swobodnego trwającego 1 sekundę - korzystamy z wyprowadzenia z pierwszej strony h=gt^2/2=5 metrów. Czyli 5 metrów na każde 300 milionów metrów. Nie jest to duży kąt, ale na upartego można próbować go zmierzyć.

Podsumowując. Wiemy już co mierzy ziemski akcelerometr. Mierzy on siłę bezwładności, przelicza na przyspieszenie poprzez odwróćenie osi i fałszuje o ziemskie 1g. Dlatego też akcelerometr zainstalowany w samolocie, który spoczywa na Ziemi pokaże +1g, choć samolot przecież nie przyspiesza. Dlatego też w spadającej swobodnie kapsule pokaże 0g, chociaż przyspiesza ona z -1g. Analogicznie w rakiecie, która np. przyspiesza z +3g, akcelerometr pokaże +4g. Aby wieć uzyskać prawdziwe przyspieszenie obiektu, od pomiaru akcelerometru musimy odjąć lokalne przyspieszenie grawitacyjne, a więc w ziemskim przypadku 1g. Oczywiście w ogólności mierząc wektor przyspieszenia (a więc 3 akcelerometry na 3 składowe), ziemskie przyspieszenie po prostu odejmujemy wektorowo.